设Tn为数列{an}的前n项乘积,满足Tn=1-an(n∈N*)(1)设bn=1Tn,求证:数列...
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发布时间：2024-10-22 12:39
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时间：2024-10-29 21:39
（1）∵Tn=1-an，an=TnTn-1，n≥2，
∴Tn=1-TnTn-1，从而1Tn-1Tn-1=1，（n≥2）
∴bn-bn-1=1，（n≥2）
∵T1=a1=1-a1，
∴a1=12，b1=1T1=1a1=2，
∴{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知bn=2+（n-1）=n+1，从而cn=（n+1）?2n，
∴Sn=2?2+3?22+…+（n+1）?2n，
2Sn=2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1，
两式相减，得-Sn=4+（22+23+…+2n）-（n+1）?2n+1
=4+4(1-2n-1)1-2-（n+1）?2n+1
=-n?2n+1，
∴Sn=n?2n+1．
（3）∵Tn=1bn=1n+1，
∴n≥2时，an=TnTn-1=nn+1，
∵a1=12，∴an=nn+1，n∈N* ，
An=T12+T22+…+Tn2
=122+132+…+1(n+1)2
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时间：2024-10-29 21:37
（1）∵Tn=1-an，an=TnTn-1，n≥2，
∴Tn=1-TnTn-1，从而1Tn-1Tn-1=1，（n≥2）
∴bn-bn-1=1，（n≥2）
∵T1=a1=1-a1，
∴a1=12，b1=1T1=1a1=2，
∴{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知bn=2+（n-1）=n+1，从而cn=（n+1）?2n，
∴Sn=2?2+3?22+…+（n+1）?2n，
2Sn=2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1，
两式相减，得-Sn=4+（22+23+…+2n）-（n+1）?2n+1
=4+4(1-2n-1)1-2-（n+1）?2n+1
=-n?2n+1，
∴Sn=n?2n+1．
（3）∵Tn=1bn=1n+1，
∴n≥2时，an=TnTn-1=nn+1，
∵a1=12，∴an=nn+1，n∈N* ，
An=T12+T22+…+Tn2
=122+132+…+1(n+1)2
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