确界原理有界集
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发布时间：2小时前
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有界集的定义指出，若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）。若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。例如，数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界，因为任何不大于零1的实数都是N+的下界，故N+为有下界的数集。而要证明N无上界，只需证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数n0（∈N+），使得n0>M。对于任何一个正数M，总存在一个数N=[M]+1，使得N>M，这就证明了N+无上界。
确界的定义进一步解释了有界集的概念。若数集S有上界，那么S有无穷多个上界，其中最小的一个称为S的上确界（用sup S表示）。同样，有下界数集S的最大下界称为该数集的下确界（用inf S表示）。上确界定义为：设S是R中的一个数集，若数η满足对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界；且对任何的aa，即η是S的最小上界，则称η为数集S的上确界。下确界定义为：设S是R的一个数集，若数ξ满足对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；且对任何的β>ξ，存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集S的下确界。
确界原理表明，对一个有界集，若存在上界，则必存在一个最小的上界，即上确界；若存在下界，则必存在一个最大的下界，即下确界。这个原理在实分析和数学分析中具有重要的地位，它为研究数集的性质提供了坚实的理论基础。
