为什么要证明单调有界
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在数学分析中，单调性对任一数列\(\{x_n\}\)，如果从某一项\(x_k\)开始，满足\(x_{n+1} \geq x_n\)（或全部取小于号），则称数列（从第\(k\)项开始）是单调递增的（或严格单调递增的）。同样地，如果从某一项\(k\)开始，满足\(x_{n+1} \leq x_n\)（或全部取大于号），则称数列是单调递减的（或严格单调递减的）。单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。
有界性对任一数列\(\{x_n\}\)，如果存在某个实数\(A\)使数列的所有项都满足不等式\(x_n \leq A\)恒成立，则称这个数列是有上界的，实数\(A\)是数列的一个上界，记做\(\sup\{x_n\} \leq A\)；同样地，如果存在某个实数\(B\)使数列的所有项都满足不等式\(x_n \geq B\)恒成立，则称这个数列是有下界的，实数\(B\)是数列的一个下界，记做\(\inf\{x_n\} \geq B\)。如果一个数列既有上界又有下界，则称这个数列是有界的。此时，存在一个正数\(M\)，使不等式\(|x_n| \leq M\)成立。
数列有界性的几何解释是：数列的所有项都包含在零点的\(M\)-邻域内。定理单调有界数列必有极限。具体地说：（i）若数列递增且有上界，则其极限为上界；（ii）若数列递减且有下界，则其极限为下界。证明设数列\(\{x_n\}\)单调递增且有上界，接下来用戴德金定理证明\(\{x_n\}\)必有极限。分类讨论，如果\(\{x_n\}\)从第\(N\)项开始所有的项都相等（即数列有无穷多个相等的项），那么由于数列是单调递增的，当\(n>N\)时，有\(x_n=x_N\)，因此\(\lim_{n \to \infty} x_n = x_N\)。
如果\(\{x_n\}\)中只有有限项相等，即数列从某项开始严格单调递增，那么因为\(\{x_n\}\)有上界，可取所有\(\{x_n\}\)的上界组成一个数集\(B\)，并取\(A=\mathbb{R}/B\)。则：①由取法可知数集\(B\)非空，而\(\{x_n\}\)为严格单调递增数列，故\(\lim_{n \to \infty} x_n = \sup B\)；②\(\sup B\)是\(B\)中的最大值；③\(\inf A\)是\(A\)中的最小值。
由数集\(A\)的意义可知，\(\inf A = \sup B\)。而数列单调递增，故\(\lim_{n \to \infty} x_n = \sup B\)。同理可证：若数列\(\{x_n\}\)单调递减且有下界，则\(\{x_n\}\)必有极限。
应用在一般的教科书中，单调有界定理是通过确界原理来证明的，即通过确界原理知道\(\{x_n\}\)有上（下）确界\(\alpha\)，再证明\(\{x_n\}\)收敛于\(\alpha\)。事实上，单调有界定理与确界原理等价，既可以由确界原理得到单调有界定理，也可以由单调有界定理得到确界原理。以下是其证法。
问题：试通过单调有界定理证明确界原理。解：不妨设数集\(S\)非空有上界，将所有不小于\(S\)中的任一元素的有理数排成一个数列\(\{r_n\}\)，并令\(\{x_n\} = \min\{r_1, r_2, r_3, \ldots, r_n\}\)。为更直观理解\(\{x_n\}\)，
